Математика мира

В поисках подходящих сравнений, метафор, метонимий для дискуссий о духовном мы обращаемся к разным областям человеческой жизни. В этом эссе я хочу поговорить о духовном на примере двух важных математических понятий.

Слово "математика" связано, вероятно, у читателя с представлением о чем-то сложном для понимания. Однако, как и в других моих эссе, я постараюсь выражать свои мысли самыми простыми словами.

Речь пойдет о двух важных математико-философских понятиях, лежащих в основе двух частей математики. Понятие порядка является одним из важнейших в алгебре. Понятие открытого множества лежит в основании другой важной части математики (эта часть называется топологией).

1. Истинные иерархии

Порядок - это слово, которым математики обозначают ту ситуацию, когда некоторое количество предметов выстроено друг за другом согласно какому-нибудь признаку. Например, сотрудников какого-нибудь предприятия можно упорядочить по весу (от самого худого до самого полного), по росту (от самого низкого до самого высокого), по зарплате (от самого низкооплачиваемого до самого высокооплачиваемого), и т.д. Часто бывает, что два или больше объектов делят между собой одну и ту же позицию в порядке. Например, на предприятии может быть несколько сотрудников с одинаковой зарплатой. Разделение сотрудников на женщин и мужчин - это еще один пример порядка. В этом порядке всего две "ступеньки", он разбивает сотрудников лишь на две категории. Если на предприятии работает достаточно много и женщин, и мужчин, то много сотрудников попадут как в ту, так и в другую категорию этого порядка. В то же время если на предприятии совсем нет женщин или совсем нет мужчин, то одна из двух категорий этого порядка окажется пустой.

Синонимами слова порядок в разных ситуациях могут служить такие слова: упорядочение, иерархия, цепь, очередь, ряд, шеренга, и т.д. - я буду в дальнейшем иногда говорить иерархия, имея в виду то же, что порядок.

При обсуждении духовных вопросов тоже рассматриваются разные порядки. Например, в православии существует иерархия различных типов праведников и святых. Эта иерархия очевидна в некоторых своих частях (например, понятно, что великомученик более свят, чем просто мученик). Однако в некоторых случаях эта иерархия достаточно сложна (например, трудно догадаться, кто более свят - преподобный или святитель).

Другие примеры порядка в духовном - это иерархии святости предметов и мест. Понятно, например, что чудотворная икона более свята, чем просто икона. Икона, как правило, более свята, чем нательный крест. Гвозди, которыми Христос был прибит к кресту, почитаются более святыми, чем чем любая икона, и т.д. С точки зрения православных, Иерусалим - более святой город, чем Киев, а Киев - более святой, чем Петербург, и т.д.

Мне кажется, что эти и различные другие "духовные" иерархии не имеют никакого отношения к духовным вопросам. Типичная форма истинно духовной иерархии, как мне кажется, такова:

• эта иерархия состоит из двух уровней (как в примере с разбиением на мужчин и женщин);
• всё в мире принадлежит одному из этих уровней, тогда как второй пуст.

Рассмотрим два примера таких иерархий.

• Расположим всё в мире согласно тому, что является более реальным, а что - более иллюзорным. В такую иерархию могли бы быть включены, например, мои ботинки на одном из нижних уровней (они весьма реальны), моя зарплата на более высоком уровне (поскольку мне платят деньгами, а не теми реальными вещами, которые я на нее куплю), театральное представление на несколько более выскоком уровне (ибо хотя в представлении и участвуют реальные люди, но они представляют иллюзорные ситуации), компьютерная игра на еще более высоком уровне (поскольку я "бегаю" в ней по иллюзорному ландшафту и "стреляю" в иллюзорных врагов), игра в шахматы на еще более высоком уровне (она еще более удалена от реальности, чем компьютерная игра), сновидения еще на уровень выше, и т.д. Такое построение этой иерархии кажется мне порочным. Этот сложный порядок может иметь некоторую философскую, социологическую, психологическую ценность - но не духовную. Только если мы признаем, что всё в мире является в одной и той же мере реальным (или в одной и той же мере иллюзорным), мы можем построить верную в духовном отношении иерархию - одну из двух следующих. Можно сказать так: всё в мире делится на две части: реальное и иллюзорное, и всё в мире является реальным, ничего иллюзорного нет. Или так: всё в мире делится на две части: реальное и иллюзорное, и всё в мире является иллюзорным, ничего реального нет. Оба эти порядка являются истинно духовными.
• Рассмотрим еще один, похожий пример. Расположим всё в мире согласно тому, что является более материальным, а что - более духовным. В такую иерархию могли бы быть включены, например, мои ботинки на одном из нижних уровней (как малодуховные и весьма материальные), мои записи группы Byrds на одном из средних уровней (как несколько духовные), мой Новый Завет с цветными иллюстрациями на одном из более высоких уровней (как нечто в достаточной степени духовное), и т.д. Точно так же как в предыдущем примере, я считаю, что такая иерархия только сбивает нас с толку. Зато если мы скажем, что всё в мире является в одной и той же мере материальным (или в одной и той же мере духовным), мы можем построить верную и полезную иерархию - одну из двух следующих. Можно сказать так: всё в мире делится на две части: материальное и духовное, и всё в мире является материальным, ничего духовного нет. Или так: всё в мире делится на две части: материальное и духовное, и всё в мире является духовным, ничего материального нет.

Я обещал, что в этом эссе не будет ничего сложного. Поэтому пропустите этот абзац, если хотите: он содержит достаточно сложное примечание. Я хочу, чтобы вы обратили внимание на интересное логическое противоречие, заключенное в моих рассуждениях в последнем примере. Там я утверждаю, что всё в мире духовно в одинаковой степени, что нет ничего более (или менее) духовного, чем что-нибудь другое. Это одна сторона противоречия. Между тем я рассматриваю там несколько иерархий предметов в мире и утверждаю, что одни из этих иерархий не имеют отношения к духовному или искажают духовное, а другие являются истинно духовными. Следовательно, я привожу примеры нескольких вещей, из которых, по моему мнению, некоторые являются более духовными, чем другие. Это вторая сторона противоречия.

2. Откровение открытости

Пространство, в котором мы живем, обладает двумя важными свойствами. Первое касается коротких путешествий в пространстве, второе - долгих путешествий в пространстве.

• Любая точка пространства со всех сторон окружена другими точками пространства. Поэтому, в какую бы сторону я ни сдвинулся из той точки, где я нахожусь сейчас, я снова буду находиться в одной из точек этого же пространства. Другими словами, при перемещении в пространстве я могу быть уверен, что я не упрусь в конец пространства. (Этим пространство отличается, например, от комнаты, окруженной стенами. Если я стою в комнате, упираясь носом в стену, я могу идти назад или вправо или влево, но я не могу идти вперед - в ту сторону комната кончилась. Если на моем месте будет танк или бульдозер, он сможет сдвинуться вперед, в отличие от меня - но при этом он окажется снаружи комнаты.)
• Из пространства невозможно выйти, двигаясь внутри пространства. В пространстве я могу двигаться в любую сторону в течение сколь угодно долгого времени, но в конце движения я всё равно окажусь в этом же пространстве. Если я даже очень сильно захочу оказаться снаружи пространства, у меня это не получится, если я буду двигаться внутри пространства. (Этим пространство отличается, например, от восточного полушария земного шара. Если лететь на самолете на запад или на восток над восточным полушарием, то в какой-то момент мы окажемся над западным полушарием, хотя летели мы всё время до этого момента только над восточным полушарием. Другой пример - плот, плывущий вниз по реке, в конце концов в некоторый момент окажется не в реке, а в море, хотя до этого момента он плыл по реке.)

Пространства, имеющие эти два свойства, называются открытыми множествами. (Математики не включают второе свойство в определение открытого множества. Однако мыслители разных времен, начиная с древнегреческого мудреца Зенона, переоткрывали второе свойство и требовали его рассмотрения.)

Какой еще пример открытого множества мы знаем, помимо пространства? Конечно, время:

• каждый момент времени окружен спереди и сзади другими моментами времени;
• сколько бы я ни прожил, я не выйду за границы времени, а всё еще буду находиться внутри времени. Точно так же, если бы я смог "путешествовать" назад во времени, я не смог бы выйти за границы времени, а попал бы в какой-нибудь момент внутри времени. Таким образом, из времени нельзя выйти с помощью движения внутри времени.

Можно придумать много интересных примеров открытых множеств, но самый интересный из них в том, что касается духовного - это жизнь человека с точки зрения этого человека.

• Во-первых, любая деталь моей жизни существует в моей жизни не сама по себе; она окружена со всех сторон другими деталями моей жизни. Так что я не могу, живя, вдруг упереться в конец моей жизни. (Я могу увидеть границы моей жизни только в мысленном эксперименте, в котором я намеренно воображаю, что у моей жизни есть границы. Это похоже на мысленные эксперименты некоторых верующих и некоторых физиков-теоретиков, в которых они специально представляют себе, что у времени и пространства есть границы.)
• Во-вторых, сколько бы я ни жил, или как бы я ни менял свою жизнь, это, тем не менее, будет моя жизнь. Таким образом, я не могу выйти из моей жизни, двигаясь внутри нее (изменяя ее). С другой стороны, я не могу двигаться никак иначе, кроме как внутри моей жизни, поскольку всё, что происходит со мной, автоматически включается в мою жизнь. Следовательно, я не могу выйти из моей жизни вообще.

Антон Гарновский

На главную страницу (nohead.narod.ru)